一元三点拉格朗日插值公式在水位与流量、库容换算中的应用

• 关键词：拉格朗日插值公式,水位与流量,库容换算
• 摘要：平升公司目前采用的是水文观测数据最主流的算法: 一元三点拉格朗日插值公式，将实测数据以外的节点用已知点进行插值。插值计算时，是选取最靠近插值点的3个节点代入公式，因此对于一条曲线就有多个插值公式，采用分段插值的方法，将该曲线使用范围内的每一组对应值插算出来。

《榆林市水位视频监控综合管理软件》目前已通过榆林市水务局的初步验收。平升公司根据榆林市水务局的项目建设要求，完成了水位、流量、库容数据的采集运算与视频图像的整合。

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本案例中主要对一元三点拉格朗日插值公式在水位与流量、库容换算中的应用做一下介绍，分享一下平升公司应用此公式的一些心得。

一般水文工作者习惯通过现场测量一组水位对应的流量数据，以此来推导出近似的水位和流量的曲线（函数），这样在曲线上的任何一个水位值（X）都会有一个对应的流量值（Y），这就是我们经常说的水位流量关系曲线。但是这个曲线多是非线性、不规则的，用这样的曲线计算出来的数据误差会非常大。

而平升公司目前采用的是水文观测数据最主流的算法: 一元三点拉格朗日插值公式，将实测数据以外的节点用已知点进行插值。插值计算时，是选取最靠近插值点的3个节点代入公式，因此对于一条曲线就有多个插值公式，采用分段插值的方法，将该曲线使用范围内的每一组对应值插算出来。

选取节点应按从小到大顺序选取，曲线的两个端点必须选入，其间可随曲线曲率变化而定，端点附近与曲率变化较大处选密一些，反之可选稀一些，选取节点数量应满足计算精度的要求且等差为佳，节点不得少于3个。

数学公式推演

任给定F中2n+2个数x₁，x₂，…，x_n+1，y₁，y₂，…，y_n+1，其中x₁，x₂，…x_n+1互不相同，则存在唯一的次数不超过n的多项式p_n(x)，满足p_n(x_i)=y₁(i=1，2，…，n+1)，这里：

叫做拉格朗日插值公式。

公式的几何解释是：存在唯一的次数不超过n的抛物线

通过平面上的给出的n+1个点M₁(x_1，y₁)，M₂(x₂，y₂)，…，M_n+1(x_n+1，y_n+1)。

如对于自变数的两个值，给出了线性函数的(n=1)对应值，这线性函数就被确定。从几何方面说，直线由其两点确定，即：

总结

平升公司为了方便客户添加水位与流量或者库容的数组数据，把水位数据做成一个集合，流量（库容）数据做成一个集合，数据之间通过“&”区分，在保证数据测算准确的前提下，给客户提供更简单方便的输入方式，目前软件系统已经正式应用于榆林市防汛抗旱项目中，受到领导和工作人员的一致好评。